№ 52 ВПР 2 Геометрія = № 52 ВПТ 3 Математика
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=3$ і $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=120^{\circ}$. Знайдіть $(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})$.
Розв’язок:
Розкриємо дужки:
$\left( 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b} \right)=$
$=2{\overrightarrow{a}}^{2}+14\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-21{\overrightarrow{b}}^{2}=$
$=2{\overrightarrow{a}}^{2}+11\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-21{\overrightarrow{b}}^{2}$
Використаємо властивості скалярного добутку: ${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}$, ${\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{b}|^{2}$, $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos 120^{\circ}$:
$=2\cdot4^{2}+11\cdot4\cdot3\cdot cos120^{\circ}-21\cdot3^{2}=$
$=2\cdot16+132\cdot(-0{,}5)-21\cdot9=$
$=32-66-189=-223$
Відповідь:
$-223$.