№ 9 ЗПЗ 2 Геометрія = № 9 ЗПЗ 3 Математика
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами в точках $A(4;8)$, $B(10;10)$, $C(16;8)$, $D(10;6)$ — ромб.
Розв’язок:
Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$:
$\overrightarrow{AB}=(10-4;10-8)=(6;2)$
$\overrightarrow{DC}=(16-10;8-6)=(6;2)$
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то чотирикутник $ABCD$ — паралелограм (за ознакою рівності протилежних сторін).
Знайдемо координати діагоналей як векторів:
$\overrightarrow{AC}=(16-4;8-8)=(12;0)$
$\overrightarrow{BD}=(10-10;6-10)=(0;-4)$
Обчислимо скалярний добуток діагоналей:
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=12\cdot0+0\cdot(-4)=0$
Оскільки скалярний добуток дорівнює $0$, то діагоналі перпендикулярні ($\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$).
Паралелограм, у якого діагоналі перпендикулярні, є ромбом.
Отже, $ABCD$ — ромб.
Що й треба було довести.