№ 11.30 Геометрія = № 22.30 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $7$ см і $9$ см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює $4$ см. Знайдіть третю сторону трикутника.
Розв’язок:
Нехай $\bigtriangleup ABC$ — даний, у якого $AB=7$ см; $BC=9$ см; $BK$ — медіана, $BK=4$ см.
Нехай $AK=x$ см, тоді $AC=2x$ см.
У $\bigtriangleup ABK$:
$\cos A=\frac{7^{2}+x^{2}-4^{2}}{2\cdot7\cdot x}$
У $\bigtriangleup ABC$:
$\cos A=\frac{7^{2}+(2x)^{2}-9^{2}}{2\cdot7\cdot2x}=$
$=\frac{7^{2}+4x^{2}-9^{2}}{2\cdot7\cdot2x}$
Прирівняємо вирази для $\cos A$:
$\frac{7^{2}+x^{2}-4^{2}}{14x}=$
$=\frac{7^{2}+4x^{2}-9^{2}}{28x}$
Помножимо обидві частини на $28x$:
$2\cdot\left( 49+x^{2}-16 \right)=$
$=49+4x^{2}-81$
$2\cdot(33+x^{2})=4x^{2}-32$
$66+2x^{2}=4x^{2}-32$
$2x^{2}=98$
$x^{2}=49$
$x=7$ або $x=-7$ — не є розв’язком задачі.
Отже, $AC=2x=2\cdot7=14$ (см).
Відповідь:
$14$ см.