№ 11.31 Геометрія = № 22.31 Математика
Доведіть, що коли для трикутника $ABC$ справджується рівність $a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc$, то $\angle A=60^{\circ}$.
Розв’язок:
За теоремою косинусів:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\angle A$
За умовою $a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc$. Прирівняємо праві частини рівностей:
$b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos\angle A=b^{2}+c^{2}-bc$,
$2bc\cdot\cos\angle A=bc$.
Поділимо обидві частини на $bc$ ($bc>0$): $2\cos\angle A=1$, тоді
$cos\angle A=\frac{1}{2}$
звідси $\angle A=60^{\circ}$.