№ 11.32 Геометрія = № 22.32 Математика
Доведіть, що коли для трикутника $ABC$ справджується рівність $b^{2}=a^{2}+c^{2}+ac$, то $\angle B=120^{\circ}$.
Розв’язок:
За теоремою косинусів:
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos\angle B$
За умовою задачі:
$b^{2}=a^{2}+c^{2}+ac$
Прирівняємо праві частини рівностей:
$a^{2}+c^{2}-2accos\angle B=$
$=a^{2}+c^{2}+ac$
Віднімемо від обох частин $a^{2}+c^{2}$:
$-2accos\angle B=ac$
Поділимо обидві частини на $2ac$ (оскільки $a,c>0$):
$cos\angle B=-\frac{1}{2}$
Отже, $\angle B=120^{\circ}$.
Що й треба було довести.