№ 11.33 Геометрія = № 22.33 Математика
Одна зі сторін трикутника дорівнює $13$ см. Сума двох інших сторін дорівнює $23$ см. Знайдіть ці сторони, якщо вони утворюють кут $60^{\circ}$.
Розв’язок:
Нехай одна зі сторін дорівнює $x$ см, тоді інша сторона дорівнює $(23-x)$ см.
За теоремою косинусів для сторони $13$ см:
$13^{2}=x^{2}+(23-x)^{2}-2x(23-x)\cdot cos60^{\circ}$
$169=x^{2}+529-46x+x^{2}-2x(23-x)\cdot\frac{1}{2}$
$169=2x^{2}-46x+529-x(23-x)$
$169=2x^{2}-46x+529-23x+x^{2}$
$3x^{2}-69x+360=0$
Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^{2}-23x+120=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}+x_{2}=23$
$x_{1}\cdot x_{2}=120$
Коренями рівняння є $x_{1}=15$ та $x_{2}=8$.
Якщо одна сторона дорівнює $15$ см, то інша сторона дорівнює $23-15=8$ см.
Якщо одна сторона дорівнює $8$ см, то інша сторона дорівнює $23-8=15$ см.
Отже, сторони трикутника дорівнюють $15$ см і $8$ см.
Відповідь:
$15$ см, $8$ см.