№ 11.34 Геометрія = № 22.34 Математика
Середня за довжиною сторона трикутника на $1$ см більша за меншу сторону і на $1$ см менша від більшої сторони. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює $\frac{2}{3}$. Знайдіть периметр трикутника.
Розв’язок:
Нехай $x$, $x-1$ і $x+1$ см — шукані сторони. За теоремою косинусів:
$(x-1)^{2}+(x+1)^{2}-2(x-1)(x+1)\cdot\frac{2}{3}=x^{2}$
$x^{2}-2x+1+x^{2}+2x+1-\frac{4}{3}(x^{2}-1)-x^{2}=0$
$x^{2}-\frac{4}{3}x^{2}+2+\frac{4}{3}=0$
$-\frac{1}{3}x^{2}=-\frac{10}{3}$
$x^{2}=10$
$x=\sqrt{10}$
$BC=\sqrt{10}$
$AB=\sqrt{10}-1$
$P=\sqrt{10}+\sqrt{10}+1+\sqrt{10}-1=$
$=3\sqrt{10}\text{ (см)}$
Відповідь:
$3\sqrt{10}$ см.