№ 11.34 Геометрія = № 22.34 Математика
Середня за довжиною сторона трикутника на $1$ см більша за меншу сторону і на $1$ см менша від більшої сторони. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює $\frac{2}{3}$. Знайдіть периметр трикутника.
Розв’язок:
Нехай $x-1$, $x$ і $x+1$ см — сторони трикутника. Середній за величиною кут лежить проти середньої сторони $x$. За теоремою косинусів:
$(x-1)^{2}+(x+1)^{2}-2(x-1)(x+1)\cdot\frac{2}{3}=x^{2}$
$x^{2}-2x+1+x^{2}+2x+1-\frac{4}{3}(x^{2}-1)-x^{2}=0$
$x^{2}-\frac{4}{3}x^{2}+2+\frac{4}{3}=0$
$-\frac{1}{3}x^{2}=-\frac{10}{3}$
$x^{2}=10$
$x=\sqrt{10}$
Тоді сторони трикутника: $\sqrt{10}-1$ см, $\sqrt{10}$ см, $\sqrt{10}+1$ см.
$P=(\sqrt{10}-1)+\sqrt{10}+(\sqrt{10}+1)=3\sqrt{10}$ (см).
Відповідь:
$3\sqrt{10}$ см.