№ 11.37 Геометрія = № 22.37 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $7$ см та $11$ см, а медіана, проведена до третьої сторони, на $8$ см менша від цієї сторони. Знайдіть периметр трикутника.
Розв’язок:
$AK$ — медіана, проведена до сторони $BC$. Нехай $BC=x$, тоді $AK=x-8$.
Використаємо формулу довжини медіани $4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}$:
$(2(x-8))^{2}+x^{2}=(7^{2}+11^{2})\cdot2$
$4(x^{2}-16x+64)+x^{2}=340$
$5x^{2}-64x+256-340=0$
$5x^{2}-64x-84=0$
Дискримінант рівняння:
$D=64^{2}-4\cdot5\cdot(-84)=$
$=4096+1680=5776$
$\sqrt{D}=76$
$x=\frac{64\pm76}{10}$
$x_{1}=\frac{140}{10}=14$
$x_{2}=\frac{-12}{10}=-1{,}2$ — не є розв’язком задачі, оскільки довжина сторони має бути додатною.
Отже, $BC=14$ см.
Периметр трикутника:
$P=7+11+14=32$ (см).
Відповідь:
$32$ см.