№ 11.38 Геометрія = № 22.38 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $7$ см і $9$ см, а медіана, проведена до третьої сторони, відноситься до цієї сторони як $2\ :7$. Знайдіть периметр трикутника.
Розв’язок:
Нехай медіана трикутника дорівнює $2x$ см, а третя сторона — $7x$ см.
За теоремою про довжину медіани трикутника:
$m_{c}^{2}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}$
Підставимо відомі значення ($a=7$, $b=9$, $c=7x$, $m_{c}=2x$):
$(2x)^{2}=\frac{2\cdot7^{2}+2\cdot9^{2}-(7x)^{2}}{4}$
$4x^{2}=\frac{2\cdot49+2\cdot81-49x^{2}}{4}$
$16x^{2}=98+162-49x^{2}$
$16x^{2}+49x^{2}=260$
$65x^{2}=260$
$x^{2}=4$
$x=2$
(значення $x=-2$ не є розв’язком задачі, оскільки довжина сторони має бути додатною).
Тоді третя сторона дорівнює:
$7x=7\cdot2=14\text{ (см)}$
Периметр трикутника:
$P=7+9+14=30\text{ (см)}$
Відповідь:
$30$ см.