№ 11.39 Геометрія = № 22.39 Математика
У трикутнику $ABC$ $AB=8$ см, $BC=10$ см, $AC=12$ см. На сторонах $AB$ і $AC$ узято такі точки $M$ і $N$ відповідно, що $AM=3$ см, $AN=5$ см. Знайдіть довжину відрізка $MN$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC:$
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=$
$=\frac{8^{2}+12^{2}-10^{2}}{2\cdot8\cdot12}=\frac{108}{192}=\frac{9}{16}$
$\bigtriangleup AMN:$
$MN=\sqrt{AM^{2}+AN^{2}-2\cdot AM\cdot AN\cdot cos\angle A}=$
$=\sqrt{3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cdot\frac{9}{16}}=$
$=\sqrt{9+25-30\cdot\frac{9}{16}}=$
$=\sqrt{34-\frac{135}{8}}=$
$=\sqrt{\frac{272-135}{8}}=\sqrt{\frac{137}{8}}=$
$=\sqrt{\frac{274}{16}}=\frac{\sqrt{274}}{4}\text{ (см)}$
Відповідь:
$\frac{\sqrt{274}}{4}$ см.