№ 11.41 Геометрія = № 22.41 Математика
У трикутнику $ABC$ $AB=20$ см, $AP$ і $BN$ — медіани трикутника, $AP=42$ см, $BN=36$ см. Знайдіть третю медіану трикутника.
Розв’язок:
Нехай $CD$ — шукана медіана, $O$ — точка перетину медіан.
Тоді:
$BO=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\cdot36=24$ (см);
$AO=\frac{2}{3}AP=\frac{2}{3}\cdot42=28$ (см).
У $\bigtriangleup ABO$: $OD$ — медіана. За теоремою про довжину медіани трикутника:
$(2OD)^{2}+AB^{2}=2\cdot(OB^{2}+OA^{2})$
$4\cdot OD^{2}+20^{2}=2\cdot(24^{2}+28^{2})$
$4\cdot OD^{2}=2\cdot(576+784)-400$
$4\cdot OD^{2}=2\cdot1360-400$
$4\cdot OD^{2}=2720-400$
$4\cdot OD^{2}=2320$
$OD^{2}=580$
$OD=\sqrt{580}=$
$=\sqrt{4\cdot145}=2\sqrt{145}$
Так як $OD=\frac{1}{3}CD$, то:
$CD=3\cdot OD=$
$=3\cdot2\sqrt{145}=6\sqrt{145}$ (см).
Відповідь:
$6\sqrt{145}$ см.