№ 11.42 Геометрія = № 22.42 Математика
Більша діагональ ромба дорівнює $d$, а один з його кутів дорівнює $60^{\circ}$. Знайдіть периметр ромба.
Розв’язок:
Нехай $AB=x$.
Оскільки сума кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ}$, то $\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
З $\bigtriangleup ABC$ за теоремою косинусів:
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos120^{\circ}$
$d^{2}=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)=$
$=x^{2}+x^{2}+x^{2}=3x^{2}$
Тоді:
$x=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}$
$AB=\frac{d\sqrt{3}}{3}$
Периметр ромба $P_{ABCD}=4\cdot AB$:
$P_{ABCD}=4\cdot\frac{d\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}d}{3}$
Відповідь:
$\frac{4\sqrt{3}d}{3}$.