№ 11.46 Геометрія = № 22.46 Математика
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює $40$ см, а висота, проведена до основи, — $10$ см. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=BC$; $BK \perp AC$.
$P_{\bigtriangleup ABC}=40$ см.
Оскільки $BK$ — висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, вона є також медіаною, тому $AK=KC=\frac{1}{2}AC$.
Периметр $P=AB+BC+AC=2AB+2AK=40$ см, звідки $AB+AK=20$ см.
Нехай $AK=x$ см, тоді $AB=(20-x)$ см.
$\bigtriangleup ABK$ — прямокутний. За теоремою Піфагора:
$AK^{2}+BK^{2}=AB^{2}$
$x^{2}+10^{2}=(20-x)^{2}$
$x^{2}+100=400-40x+x^{2}$
$40x=300$
$x=7{,}5$
Отже, $AK=7{,}5$ см. Тоді $AC=2\cdot AK=15$ см.
Площа трикутника:
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK=$
$=\frac{1}{2}\cdot15\cdot10=75\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$75$ см$^{2}$.