№ 11.47 Геометрія = № 22.47 Математика
Кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює $c$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — прямокутний.
$CP$ — медіана, $CN \perp AB$.
За властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи: $CP=\frac{1}{2}AB=AP=BP$. Отже $\bigtriangleup APC$ — рівнобедрений з $AP=CP$, тому $\angle PAC=\angle PCA$, тобто $\angle A=\angle ACP$.
У прямокутному $\bigtriangleup ACN$ ($\angle ANC=90^{\circ}$): $\angle ACN=90^{\circ}-\angle A$.
Кут $\angle NCP=\alpha$ — між висотою $CN$ і медіаною $CP$.
Нехай $\angle A>45^{\circ}$ (випадок $\angle A<45^{\circ}$ дає ті самі катети, лише позначені навпаки). Тоді
$\angle ACN=90^{\circ}-\angle A<\angle A=\angle ACP$,
тобто промінь $CN$ лежить між променями $CA$ і $CP$. Отже,
$\angle ACP=\angle ACN+\alpha$,
$\angle A=(90^{\circ}-\angle A)+\alpha$,
$2\angle A=90^{\circ}+\alpha$,
$\angle A=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$.
У $\bigtriangleup ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$):
$BC=AB\cdot\sin\angle A=$
$=c\sin\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$
$AC=AB\cdot\cos\angle A=$
$=c\cos\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$
Відповідь:
$c\sin\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$, $c\cos\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$.