№ 11.51 Геометрія = № 22.51 Математика
Дано: $\bigtriangleup ABC$, $\angle C=90^{\circ}$, $AC=3$, $BC=4$ (мал. 11.9). Знайдіть:
1) $AB$;
2) $\sin A$, $\sin B$;
3) радіус описаного кола $R$;
4) відношення $\frac{AB}{\sin C}$, $\frac{AC}{\sin B}$, $\frac{BC}{\sin A}$.
Переконайтеся, що $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R$.
Розв’язок:
1) За теоремою Піфагора:
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=$
$=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
2) За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0{,}8$
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}=0{,}6$
3) Радіус описаного кола навколо прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи:
$R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2{,}5$
4) Обчислимо відношення:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{5}{\sin 90^{\circ}}=\frac{5}{1}=5$
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{3}{0{,}6}=5$
$\frac{BC}{\sin A}=\frac{4}{0{,}8}=5$
Дійсно: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=$
$=2R=2\cdot2{,}5=5$.