№ 12.26 Геометрія = № 23.26 Математика
Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, у якого кут при основі дорівнює $30^{\circ}$, а основа більша за бічну сторону на $2$ см.
Розв’язок:
Нехай бічна сторона $AB=x$ см, тоді основа $AC=(x+2)$ см.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то $\angle A=\angle C=30^{\circ}$.
Тоді $\angle B=180^{\circ}-(30^{\circ}+30^{\circ})=120^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$\frac{x+2}{\sin 120^{\circ}}=\frac{x}{\sin 30^{\circ}}$
$\frac{x+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{1}{2}}$
$\frac{x+2}{\sqrt{3}}=x$
$x+2=x\sqrt{3}$
$x(\sqrt{3}-1)=2$
$x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=$
$=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)}=$
$=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1\text{ (см)}$
Отже, бічна сторона $AB=BC=\sqrt{3}+1$ см.
Основа $AC=x+2=$
$=\sqrt{3}+1+2=\sqrt{3}+3$ см.
Периметр $P=AB+BC+AC$:
$P=\left( \sqrt{3}+1 \right)+\left( \sqrt{3}+1 \right)+\left( \sqrt{3}+3 \right)=$
$=3\sqrt{3}+5\text{ (см)}$
Відповідь:
$5+3\sqrt{3}$ см.