№ 12.27 Геометрія = № 23.27 Математика
Сторона $AB$ трикутника $ABC$ на $1$ см більша за сторону $AC$. Знайдіть сторони $AB$ і $AC$, якщо $\angle C=60^{\circ}$, $\angle B=45^{\circ}$.
Розв’язок:
Нехай $AC=x$ см, тоді $AB=(x+1)$ см.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{sin\angle C}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$\frac{x+1}{\sin 60^{\circ}}=\frac{x}{\sin 45^{\circ}}$
$\frac{x+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\frac{x+1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$
$(x+1)\sqrt{2}=x\sqrt{3}$
$x\sqrt{2}+\sqrt{2}=x\sqrt{3}$
$\sqrt{2}=x\sqrt{3}-x\sqrt{2}$
$\sqrt{2}=x(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$:
$x=\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}=$
$=\frac{\sqrt{6}+2}{3-2}=\sqrt{6}+2$
Отже, $AC=(\sqrt{6}+2)$ см.
Тоді $AB=AC+1=$
$=\sqrt{6}+2+1=(\sqrt{6}+3)$ см.
Відповідь:
$AC=(\sqrt{6}+2)$ см, $AB=(\sqrt{6}+3)$ см.