№ 12.28 Геометрія = № 23.28 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $3$ см і $8$ см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як $\sqrt{3}\ :1$. Скільки розв’язків має задача?
Розв’язок:
Нехай третя сторона трикутника $c=\sqrt{3}x$, а радіус описаного кола $R=x$ см.
За теоремою синусів:
$\frac{c}{\sin\alpha}=2R$
де $\alpha$ — кут, протилежний стороні $c$.
Підставимо значення:
$\frac{\sqrt{3}x}{\sin\alpha}=2x$
Звідси:
$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тоді $\alpha=60^{\circ}$ або $\alpha=120^{\circ}$.
За теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos\alpha$:
1) Якщо $\alpha=60^{\circ}$:
$c=\sqrt{3^{2}+8^{2}-2\cdot3\cdot8\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{9+64-48\cdot0{,}5}=$
$=\sqrt{73-24}=\sqrt{49}=7\text{ (см)}$
2) Якщо $\alpha=120^{\circ}$:
$c=\sqrt{3^{2}+8^{2}-2\cdot3\cdot8\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{9+64-48\cdot(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{73+24}=\sqrt{97}\text{ (см)}$
Задача має $2$ розв’язки.