№ 12.29 Геометрія = № 23.29 Математика
Одна з діагоналей паралелограма дорівнює $d$ і ділить його кут на частини, міри яких дорівнюють $\alpha$ і $\beta$. Знайдіть периметр паралелограма.
Розв’язок:
$ABCD$ — даний паралелограм; $AC=d$; $\angle BAC=\alpha$; $\angle CAD=\beta$, тоді $\angle BCA=\beta$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $AC$).
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle BAC=\alpha$; $\angle BCA=\beta$; $\angle ABC=180^{\circ}-(\alpha+\beta)$.
За теоремою синусів:
$\frac{d}{sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))}=\frac{AB}{\sin\beta}$
$AB=\frac{d\sin\beta}{\sin\left( 180^{\circ}-(\alpha+\beta) \right)}=$
$=\frac{d\sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}$
$\frac{d}{sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))}=\frac{BC}{\sin\alpha}$
$BC=\frac{d\sin\alpha}{\sin\left( 180^{\circ}-(\alpha+\beta) \right)}=$
$=\frac{d\sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}$
$P_{ABCD}=2\cdot\left( \frac{d\sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}+\frac{d\sin\beta}{sin(\alpha+\beta)} \right)=$
$=\frac{2d(sin\alpha+sin\beta)}{sin(\alpha+\beta)}$