№ 12.30 Геометрія = № 23.30 Математика
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює $m$, а кут при основі — $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=BC$; $\angle A=\angle C=\alpha$; $AC=m$; $AK$ — бісектриса $\angle A$.
У $\bigtriangleup AKC$: $AC=m$; $\angle C=\alpha$; $\angle KAC=\frac{\alpha}{2}$.
Сума кутів трикутника $180^{\circ}$, тому:
$\angle AKC=180^{\circ}-(\angle C+\angle KAC)=$
$=180^{\circ}-(\alpha+\frac{\alpha}{2})=180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AK}{\sin\alpha}=\frac{AC}{sin(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2})}$
$\frac{AK}{\sin\alpha}=\frac{m}{\sin\frac{3\alpha}{2}}$
$AK=\frac{m\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}$
Відповідь:
$\frac{m\sin\alpha}{\sin\frac{3\alpha}{2}}$.