№ 12.31 Геометрія = № 23.31 Математика
У прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи дорівнює $c$, а градусна міра одного з гострих кутів — $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що виходить з вершини прямого кута.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ACB$: $AB=c$; $\angle A=\alpha$, тоді $AC=c\cos\alpha$.
$CK$ — бісектриса $\angle C$, тому $\angle ACK=45^{\circ}$.
$\angle AKC=180^{\circ}-(45^{\circ}+\alpha)$.
За теоремою синусів у $\bigtriangleup ACK$:
$\frac{AC}{sin\angle AKC}=\frac{CK}{\sin\alpha}$
$CK=\frac{AC\sin\alpha}{sin\angle AKC}=$
$=\frac{c\cos\alpha\sin\alpha}{sin(180^{\circ}-(45^{\circ}+\alpha))}=$
$=\frac{c\cos\alpha\sin\alpha}{sin(45^{\circ}+\alpha)}$