№ 12.36 Геометрія = № 23.36 Математика
У трикутнику $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$. Розв’яжіть трикутник, якщо:
1) $AB=8$ см, $\angle A=30^{\circ}$;
2) $AC=4$ см, $\angle B=45^{\circ}$;
3) $AC=10$ см, $\angle A=60^{\circ}$;
4) $AC=2$ см, $BC=2\sqrt{3}$ см;
5) $AB=2$ см, $BC=\sqrt{3}$ см;
6) $AC=3$ см, $AB=6$ см.
Розв’язок:
1) $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=30^{\circ} \Longrightarrow$
$\angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$;
$AC=AB\cos\angle A=8\cos 30^{\circ}=$
$=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ (см);
$BC=AB\sin\angle A=8\sin 30^{\circ}=$
$=8\cdot\frac{1}{2}=4$ (см).
2) $\angle C=90^{\circ}$, $\angle B=45^{\circ} \Longrightarrow$
$\angle A=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$;
$AB=\frac{AC}{\sin 45^{\circ}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{2}$ (см);
$CB=AC\tan 45^{\circ}=4\cdot1=4$ (см).
3) $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=60^{\circ} \Longrightarrow$
$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$;
$AB=\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{10}{\sin 30^{\circ}}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$ (см);
$CB=AC\tan\angle A=10\tan 60^{\circ}=10\sqrt{3}$ (см).
4) $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=$
$=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=$
$=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ (см);
$\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow$
$\angle A=60^{\circ}$;
$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
5) $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=$
$\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4-3}=1$ (см);
$\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow \angle A=60^{\circ}$;
$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
6) $CB=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=$
$=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36-9}=$
$=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ (см);
$\sin\angle A=\frac{CB}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow$
$\angle A=60^{\circ}$;
$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.