№ 13.12 Геометрія = № 24.12 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) $AC=5$ см, $BC=8$ см, $\angle A=80^{\circ}$;
2) $AC=10$ см, $AB=7$ см, $\angle B=60^{\circ}$;
3) $BC=2$ см, $AC=4$ см, $\angle A=61^{\circ}$;
4) $AC=3$ см, $BC=4$ см, $\angle B=30^{\circ}$.
Розв’язок:
1) $AC=5$ см; $BC=8$ см; $\angle A=80^{\circ}$.
$\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{BC}=$
$=\frac{5\cdot\sin 80^{\circ}}{8}=\frac{5\cdot0{,}9848}{8}=0{,}6155$; $\angle B\approx38^{\circ}$;
$\angle C=180^{\circ}-(80^{\circ}+38^{\circ})=62^{\circ}$.
$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}=\frac{5\cdot0{,}8829}{0{,}6155}\approx7{,}2$ см.
2) $AC=10$ см; $AB=7$ см; $\angle B=60^{\circ}$.
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$\sin\angle C=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{AC}=$
$=\frac{7\cdot\sin 60^{\circ}}{10}=\frac{7\cdot0{,}866}{10}=0{,}6062$; $\angle C\approx37^{\circ}$;
$\angle A=180^{\circ}-(60^{\circ}+37^{\circ})=83^{\circ}$.
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle A}$, звідси
$BC=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{\sin\angle B}=\frac{10\cdot0{,}9945}{0{,}866}\approx11{,}5$ см.
3) $BC=2$ см; $AC=4$ см; $\angle A=61^{\circ}$.
$\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{BC}=$
$=\frac{4\cdot\sin 61^{\circ}}{2}=2\cdot0{,}8746=1{,}7492$, але $\sin\angle B<1$. Отже, трикутника з такими вимірами не існує.
4) $AC=3$ см; $CB=4$ см; $\angle B=30^{\circ}$.
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle A}$, звідси
$\sin\angle A=\frac{BC\cdot\sin\angle B}{AC}=$
$=\frac{4\cdot\sin 30^{\circ}}{3}=\frac{4\cdot0{,}5}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667$.
Оскільки сторона $BC=4$ см більша за протилежну до даного кута сторону $AC=3$ см, існує два трикутники: $\angle A\approx42^{\circ}$ або $\angle A\approx138^{\circ}$.
1-й випадок. $\angle A\approx42^{\circ}$:
$\angle C=180^{\circ}-(30^{\circ}+42^{\circ})=108^{\circ}$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}=$
$=\frac{3\cdot\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=6\cdot0{,}9511\approx5{,}7$ (см).
2-й випадок. $\angle A\approx138^{\circ}$:
$\angle C=180^{\circ}-(30^{\circ}+138^{\circ})=12^{\circ}$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}=$
$=\frac{3\cdot\sin 12^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=6\cdot0{,}2079\approx1{,}2$ (см).