№ 13.12 Геометрія = № 24.12 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) $AC=5$ см, $BC=8$ см, $\angle A=80^{\circ}$;
2) $AC=10$ см, $AB=7$ см, $\angle B=60^{\circ}$;
3) $BC=2$ см, $AC=4$ см, $\angle A=61^{\circ}$;
4) $AC=3$ см, $BC=4$ см, $\angle B=30^{\circ}$.
Розв’язок:
1) За теоремою синусів $\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{5\cdot\sin 80^{\circ}}{8}\approx0{,}6155$.
Кут $B$ гострий, бо $AC<BC$. Отже, $\angle B\approx37^{\circ}59'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(80^{\circ}+37^{\circ}59')=62^{\circ}01'$;
$AB=\frac{BC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle A}\approx\frac{8\cdot\sin 62^{\circ}01'}{\sin 80^{\circ}}\approx7{,}17$ (см).
2) За теоремою синусів $\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, звідси
$\sin\angle C=\frac{7\cdot\sin 60^{\circ}}{10}\approx0{,}6062$.
Кут $C$ гострий, бо $AB<AC$. Отже, $\angle C\approx37^{\circ}19'$;
$\angle A\approx180^{\circ}-(60^{\circ}+37^{\circ}19')=82^{\circ}41'$;
$BC=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{\sin\angle B}\approx\frac{10\cdot\sin 82^{\circ}41'}{\sin 60^{\circ}}\approx11{,}45$ (см).
3) $BC=2$ см; $AC=4$ см; $\angle A=61^{\circ}$.
$\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{BC}=$
$=\frac{4\cdot\sin 61^{\circ}}{2}=2\cdot0{,}8746=1{,}7492$, але $\sin\angle B\leq1$. Отже, трикутника з такими вимірами не існує.
4) $AC=3$ см; $CB=4$ см; $\angle B=30^{\circ}$.
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle A}$, звідси
$\sin\angle A=\frac{BC\cdot\sin\angle B}{AC}=$
$=\frac{4\cdot\sin 30^{\circ}}{3}=\frac{4\cdot0{,}5}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667$.
Оскільки $BC>AC$ і $\sin\angle A<1$, існує два трикутники: $\angle A\approx41^{\circ}49'$ або $\angle A\approx138^{\circ}11'$.
1-й випадок. $\angle A\approx41^{\circ}49'$: $\angle C\approx180^{\circ}-(30^{\circ}+41^{\circ}49')=108^{\circ}11'$;
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}\approx\frac{3\cdot\sin 108^{\circ}11'}{\sin 30^{\circ}}\approx5{,}70$ (см).
2-й випадок. $\angle A\approx138^{\circ}11'$: $\angle C\approx180^{\circ}-(30^{\circ}+138^{\circ}11')=11^{\circ}49'$;
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}\approx\frac{3\cdot\sin 11^{\circ}49'}{\sin 30^{\circ}}\approx1{,}23$ (см).
Відповідь:
1) $\angle B\approx37^{\circ}59'$, $\angle C\approx62^{\circ}01'$, $AB\approx7{,}17$ см;
2) $\angle C\approx37^{\circ}19'$, $\angle A\approx82^{\circ}41'$, $BC\approx11{,}45$ см;
3) трикутника не існує;
4) $\angle A\approx41^{\circ}49'$, $\angle C\approx108^{\circ}11'$, $AB\approx5{,}70$ см або $\angle A\approx138^{\circ}11'$, $\angle C\approx11^{\circ}49'$, $AB\approx1{,}23$ см.