№ 13.13 Геометрія = № 24.13 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) $AB=12$ см, $BC=5$ см, $\angle C=120^{\circ}$;
2) $AC=8$ см, $BC=9$ см, $\angle A=40^{\circ}$;
3) $AC=4$ см, $BC=8$ см, $\angle B=50^{\circ}$;
4) $BC=6$ см, $AC=5$ см, $\angle B=17^{\circ}$.
Розв’язок:
1) $AB=12$ см; $BC=5$ см; $\angle C=120^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$ звідси
$\sin A=\frac{BC\cdot\sin C}{AB}=$
$=\frac{5\cdot\sin 120^{\circ}}{12}=\frac{5\cdot0{,}866}{12}\approx0{,}3608$; $\angle A\approx21^{\circ}$;
$\angle B=180^{\circ}-(120^{\circ}+21^{\circ})=39^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$ звідси
$AC=\frac{AB\cdot sinB}{\sin C}=\frac{12\cdot sin39^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}=$
$=\frac{12\cdot0{,}6293}{0{,}866}\approx8{,}7$ (см).
2) $AC=8$ см; $BC=9$ см; $\angle A=40^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ звідси
$\sin B=\frac{AC\cdot\sin A}{BC}=$
$=\frac{8\cdot\sin 40^{\circ}}{9}=\frac{8\cdot0{,}6428}{9}\approx0{,}5714$; $\angle B\approx35^{\circ}$.
$\angle C=180^{\circ}-(40^{\circ}+35^{\circ})=105^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ звідси
$AB=\frac{BC\cdot\sin C}{\sin A}=$
$=\frac{9\cdot\sin 105^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=\frac{9\cdot0{,}9659}{0{,}6428}\approx13{,}5$ (см).
3) $AC=4$ см; $BC=8$ см; $\angle B=50^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ звідси
$\sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC}=$
$=\frac{8\cdot\sin 50^{\circ}}{4}=\frac{8\cdot0{,}766}{4}\approx1{,}532$.
Такого не може бути, бо $\sin A\leq1$. Такого трикутника існувати не може.
4) $BC=6$ см; $AC=5$ см; $\angle B=17^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ звідси
$\sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC}=$
$=\frac{6\cdot\sin 17^{\circ}}{5}=\frac{6\cdot0{,}2924}{5}\approx0{,}3509$.
Оскільки сторона $BC=6$ см більша за протилежну до даного кута сторону $AC=5$ см, існує два трикутники: $\angle A\approx20^{\circ}32'$ або $\angle A\approx159^{\circ}28'$.
1-й випадок. $\angle A\approx20^{\circ}32'$:
$\angle C=180^{\circ}-(17^{\circ}+20^{\circ}32')\approx142^{\circ}28'$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B}=$
$=\frac{5\cdot\sin 142^{\circ}28'}{\sin 17^{\circ}}\approx\frac{5\cdot0{,}6093}{0{,}2924}\approx10{,}42$ (см).
2-й випадок. $\angle A\approx159^{\circ}28'$:
$\angle C=180^{\circ}-(17^{\circ}+159^{\circ}28')\approx3^{\circ}32'$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B}=$
$=\frac{5\cdot\sin 3^{\circ}32'}{\sin 17^{\circ}}\approx\frac{5\cdot0{,}0616}{0{,}2924}\approx1{,}06$ (см).