№ 13.13 Геометрія = № 24.13 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:
1) $AB=12$ см, $BC=5$ см, $\angle C=120^{\circ}$;
2) $AC=8$ см, $BC=9$ см, $\angle A=40^{\circ}$;
3) $AC=4$ см, $BC=8$ см, $\angle B=50^{\circ}$;
4) $BC=6$ см, $AC=5$ см, $\angle B=17^{\circ}$.
Розв’язок:
1) За теоремою синусів $\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A}$, звідси
$\sin\angle A=\frac{5\cdot\sin 120^{\circ}}{12}\approx0{,}3608$.
Кут $A$ гострий, бо $\angle C$ тупий. Отже, $\angle A\approx21^{\circ}09'$;
$\angle B\approx180^{\circ}-(120^{\circ}+21^{\circ}09')=38^{\circ}51'$;
$AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}\approx\frac{12\cdot\sin 38^{\circ}51'}{\sin 120^{\circ}}\approx8{,}69$ (см).
2) За теоремою синусів $\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$, звідси
$\sin\angle B=\frac{8\cdot\sin 40^{\circ}}{9}\approx0{,}5714$.
Кут $B$ гострий, бо $AC<BC$. Отже, $\angle B\approx34^{\circ}51'$;
$\angle C\approx180^{\circ}-(40^{\circ}+34^{\circ}51')=105^{\circ}09'$;
$AB=\frac{BC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle A}\approx\frac{9\cdot\sin 105^{\circ}09'}{\sin 40^{\circ}}\approx13{,}51$ (см).
3) $AC=4$ см; $BC=8$ см; $\angle B=50^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ звідси
$\sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC}=$
$=\frac{8\cdot\sin 50^{\circ}}{4}=\frac{8\cdot0{,}766}{4}\approx1{,}532$.
Такого не може бути, бо $\sin A\leq1$. Такого трикутника існувати не може.
4) $BC=6$ см; $AC=5$ см; $\angle B=17^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ звідси
$\sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC}=$
$=\frac{6\cdot\sin 17^{\circ}}{5}=\frac{6\cdot0{,}2924}{5}\approx0{,}3509$.
Оскільки сторона $BC=6$ см більша за протилежну до даного кута сторону $AC=5$ см, існує два трикутники: $\angle A\approx20^{\circ}32'$ або $\angle A\approx159^{\circ}28'$.
1-й випадок. $\angle A\approx20^{\circ}32'$:
$\angle C=180^{\circ}-(17^{\circ}+20^{\circ}32')\approx142^{\circ}28'$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B}=$
$=\frac{5\cdot\sin 142^{\circ}28'}{\sin 17^{\circ}}\approx\frac{5\cdot0{,}6093}{0{,}2924}\approx10{,}42$ (см).
2-й випадок. $\angle A\approx159^{\circ}28'$:
$\angle C=180^{\circ}-(17^{\circ}+159^{\circ}28')\approx3^{\circ}32'$.
$AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B}=$
$=\frac{5\cdot\sin 3^{\circ}32'}{\sin 17^{\circ}}\approx1{,}06$ (см).
Відповідь:
1) $\angle A\approx21^{\circ}09'$, $\angle B\approx38^{\circ}51'$, $AC\approx8{,}69$ см;
2) $\angle B\approx34^{\circ}51'$, $\angle C\approx105^{\circ}09'$, $AB\approx13{,}51$ см;
3) трикутника не існує;
4) $\angle A\approx20^{\circ}32'$, $\angle C\approx142^{\circ}28'$, $AB\approx10{,}42$ см або $\angle A\approx159^{\circ}28'$, $\angle C\approx3^{\circ}32'$, $AB\approx1{,}06$ см.