№ 13.14 Геометрія = № 24.14 Математика
Сторона паралелограма дорівнює $6$ см і утворює з діагоналями паралелограма кути $27^{\circ}$ і $48^{\circ}$. Знайдіть другу сторону і кути паралелограма.
Розв’язок:
У паралелограмі $ABCD$: $AB=6$ см, $\angle BAC=27^{\circ}$, $\angle ABD=48^{\circ}$.
З $\bigtriangleup ABO$: $\angle AOB=180^{\circ}-(27^{\circ}+48^{\circ})=105^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin 105^{\circ}}=\frac{BO}{\sin 27^{\circ}}$
$BO=\frac{AB\cdot\sin 27^{\circ}}{\sin 105^{\circ}}=$
$=\frac{6\cdot0{,}454}{0{,}966}\approx2{,}82\text{ (см)}$
Тоді $BD=2\cdot BO=2\cdot2{,}82=5{,}64$ (см).
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup ABD$:
$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2\cdot AB\cdot BD\cdot cos48^{\circ}=$
$=6^{2}+5{,}64^{2}-2\cdot6\cdot5{,}64\cdot0{,}669\approx$
$\approx36+31{,}81-45{,}26=22{,}55$
$AD=\sqrt{22{,}55}\approx4{,}75$ (см).
Знайдемо $\cos\angle A$ з $\bigtriangleup ABD$:
$cos\angle A=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD}=$
$=\frac{6^{2}+4{,}75^{2}-5{,}64^{2}}{2\cdot6\cdot4{,}75}=$
$=\frac{36+22{,}56-31{,}81}{57}=$
$=\frac{26{,}75}{57}\approx0{,}469$
$\angle A\approx62^{\circ}$.
Тоді $\angle C=62^{\circ}$, а $\angle B=\angle D=180^{\circ}-62^{\circ}=118^{\circ}$.
Відповідь:
Друга сторона $\approx4{,}75$ см, кути $62^{\circ}$ та $118^{\circ}$.