№ 13.15 Геометрія = № 24.15 Математика
Діагоналі паралелограма дорівнюють $8$ см і $10$ см і перетинаються під кутом $70^{\circ}$. Знайдіть сторони і кути паралелограма.
Розв’язок:
$ABCD$ — паралелограм; $AC=10$ см; $BD=8$ см; $\angle COD=70^{\circ}$.
$OC=10\ :2=5$ см; $OD=8\ :2=4$ см; $\angle AOD=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$.
У $\bigtriangleup COD$ за теоремою косинусів:
$CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}-2\cdot OC\cdot OD\cdot cos70^{\circ}=$
$=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot0{,}342=$
$=25+16-40\cdot0{,}342=$
$=41-13{,}68=27{,}32$
$CD=\sqrt{27{,}32}\approx5{,}23$ (см); $AB=CD\approx5{,}23$ см.
У $\bigtriangleup AOD$ за теоремою косинусів:
$AD^{2}=OA^{2}+OD^{2}-2\cdot OA\cdot OD\cdot cos110^{\circ}=$
$=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot(-0{,}342)=$
$=41-40\cdot(-0{,}342)=$
$=41+13{,}68=54{,}68$
$AD=\sqrt{54{,}68}\approx7{,}39$ (см); $BC=AD\approx7{,}39$ см.
У $\bigtriangleup ABD$ за теоремою косинусів:
$\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2\cdot AB\cdot AD}\approx\frac{27{,}32+54{,}68-64}{2\cdot5{,}23\cdot7{,}39}\approx0{,}2329$;
$\angle A\approx76^{\circ}32'$ (за калькулятором).
$\angle C=\angle A\approx76^{\circ}32'$; $\angle B=\angle D\approx180^{\circ}-76^{\circ}32'=103^{\circ}28'$.
Відповідь:
Сторони $\approx5{,}23$ см і $\approx7{,}39$ см; кути $\approx76^{\circ}32'$ і $\approx103^{\circ}28'$.