№ 13.15 Геометрія = № 24.15 Математика
Діагоналі паралелограма дорівнюють $8$ см і $10$ см і перетинаються під кутом $70^{\circ}$. Знайдіть сторони і кути паралелограма.
Розв’язок:
$ABCD$ — паралелограм; $AC=10$ см; $BD=8$ см; $\angle COD=70^{\circ}$.
$OC=10\ :2=5$ см; $OD=8\ :2=4$ см; $\angle AOD=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$.
У $\bigtriangleup COD$ за теоремою косинусів:
$CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}-2\cdot OC\cdot OD\cdot cos70^{\circ}=$
$=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot0{,}342=$
$=25+16-40\cdot0{,}342=$
$=41-13{,}68=27{,}32$
$CD=\sqrt{27{,}32}\approx5{,}2$ (см); $AB=CD=5{,}2$ см.
У $\bigtriangleup AOD$ за теоремою косинусів:
$AD^{2}=OA^{2}+OD^{2}-2\cdot OA\cdot OD\cdot cos110^{\circ}=$
$=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot(-0{,}342)=$
$=41-40\cdot(-0{,}342)=$
$=41+13{,}68=54{,}68$
$AD=\sqrt{54{,}68}\approx7{,}4$ (см); $BC=AD=7{,}4$ см.
У $\bigtriangleup ABD$ за теоремою косинусів:
$cos\angle A=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}=$
$=\frac{5{,}2^{2}+7{,}4^{2}-8^{2}}{2\cdot5{,}2\cdot7{,}4}=$
$=\frac{27{,}04+54{,}76-64}{76{,}96}=$
$=\frac{17{,}8}{76{,}96}\approx0{,}2313$
$\angle A=arccos(0{,}2313)\approx77^{\circ}$.
$\angle C=\angle A\approx77^{\circ}$; $\angle B=\angle D=180^{\circ}-77^{\circ}=103^{\circ}$.
Відповідь:
Сторони: $5{,}2$ см, $7{,}4$ см; кути: $77^{\circ}$, $103^{\circ}$.