№ 13.16 Геометрія = № 24.16 Математика
$AD$ і $BC$ — основи рівнобічної трапеції $ABCD$, $AC=6$ см, $\angle BAC=52^{\circ}$, $\angle CAD=20^{\circ}$. Знайдіть сторони і кути трапеції.
Розв’язок:
$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=52^{\circ}+20^{\circ}=72^{\circ}$.
$\angle D=\angle A=72^{\circ}$ (як кути при основі рівнобічної трапеції).
$\angle B=\angle C=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$.
$\angle BCA=\angle CAD=20^{\circ}$ (внутрішні різносторонні кути при $BC \parallel AD$ і січній $AC$).
У $\bigtriangleup ABC$ за теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AB}{\sin\angle BCA}$.
Звідси:
$BC=\frac{AC\cdot\sin 52^{\circ}}{\sin 108^{\circ}}\approx\frac{6\cdot0{,}7880}{0{,}9511}\approx4{,}97$ (см);
$AB=\frac{AC\cdot\sin 20^{\circ}}{\sin 108^{\circ}}\approx\frac{6\cdot0{,}3420}{0{,}9511}\approx2{,}16$ (см); $CD=AB\approx2{,}16$ см.
У $\bigtriangleup ACD$: $\angle ACD=180^{\circ}-(20^{\circ}+72^{\circ})=88^{\circ}$. За теоремою синусів:
$\frac{AD}{\sin 88^{\circ}}=\frac{AC}{\sin 72^{\circ}}$, $AD=\frac{AC\cdot\sin 88^{\circ}}{\sin 72^{\circ}}\approx\frac{6\cdot0{,}9994}{0{,}9511}\approx6{,}30$ (см).
Відповідь:
$AB=CD\approx2{,}16$ см, $BC\approx4{,}97$ см, $AD\approx6{,}30$ см; $\angle A=\angle D=72^{\circ}$, $\angle B=\angle C=108^{\circ}$.