№ 13.17 Геометрія = № 24.17 Математика
$AD$ і $BC$ — основи рівнобічної трапеції $ABCD$, $BD=8$ см, $\angle ABD=49^{\circ}$, $\angle DBC=62^{\circ}$. Знайдіть сторони і кути трапеції.
Розв’язок:
$ABCD$ — рівнобічна трапеція.
$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=49^{\circ}+62^{\circ}=111^{\circ}$.
Оскільки $AB$ — бічна сторона і $BC \parallel AD$, то $\angle A=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-111^{\circ}=69^{\circ}$.
Оскільки трапеція рівнобічна, то $\angle D=\angle A=69^{\circ}$, а $\angle C=\angle B=111^{\circ}$.
У $\bigtriangleup ABD$:
$\angle ADB=180^{\circ}-(\angle A+\angle ABD)=180^{\circ}-(69^{\circ}+49^{\circ})=62^{\circ}$.
$\angle CDB=\angle D-\angle ADB=69^{\circ}-62^{\circ}=7^{\circ}$.
За теоремою синусів для $\bigtriangleup ABD$:
$\frac{AD}{\sin 49^{\circ}}=\frac{BD}{\sin 69^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 62^{\circ}}$
Звідси:
$AD=\frac{BD\cdot\sin 49^{\circ}}{\sin 69^{\circ}}\approx\frac{8\cdot0{,}7547}{0{,}9336}\approx6{,}47$ (см);
$AB=\frac{BD\cdot\sin 62^{\circ}}{\sin 69^{\circ}}\approx\frac{8\cdot0{,}8829}{0{,}9336}\approx7{,}57$ (см);
$CD=AB\approx7{,}57$ см.
У $\bigtriangleup BCD$: $\angle BCD=111^{\circ}$, $\angle CDB=7^{\circ}$. За теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin 7^{\circ}}=\frac{BD}{\sin 111^{\circ}}$, $BC=\frac{BD\cdot\sin 7^{\circ}}{\sin 111^{\circ}}\approx\frac{8\cdot0{,}1219}{0{,}9336}\approx1{,}04$ (см).
Відповідь:
$AD\approx6{,}47$ см, $AB=CD\approx7{,}57$ см, $BC\approx1{,}04$ см.
Кути: $\angle A=\angle D=69^{\circ}$, $\angle B=\angle C=111^{\circ}$.