№ 13.19 Геометрія = № 24.19 Математика
З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути $50^{\circ}$ і $70^{\circ}$. Відстань між основами похилих дорівнює $6$ см. Знайдіть кут між похилими та довжини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути?
Розв’язок:
1 випадок.
$B$ і $C$ — по різні сторони основи перпендикуляра, проведеного з т. $A$ на пряму $a$.
$\angle BAC=180^{\circ}-(70^{\circ}+50^{\circ})=60^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{\sin 50^{\circ}}=\frac{AC}{\sin 70^{\circ}}=\frac{BC}{\sin 60^{\circ}}$
Тоді:
$AB=\frac{BC\cdot\sin 50^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=$
$=\frac{6\cdot0{,}766}{0{,}866}\approx5{,}31\text{ (см)}$
$AC=\frac{BC\cdot\sin 70^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=$
$=\frac{6\cdot0{,}9397}{0{,}866}\approx6{,}51\text{ (см)}$
2 випадок.
$B$ і $C$ — по одну сторону від основи перпендикуляра.
У $\bigtriangleup ACB$: $\angle ABC=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$.
$\angle BAC=70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{\sin 20^{\circ}}=\frac{AC}{\sin 110^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 50^{\circ}}$
Звідси:
$AC=\frac{BC\cdot\sin 110^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=$
$=\frac{6\cdot0{,}9397}{0{,}342}\approx16{,}49\text{ (см)}$
$AB=\frac{BC\cdot\sin 50^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=$
$=\frac{6\cdot0{,}766}{0{,}342}\approx13{,}44\text{ (см)}$
Кут між похилими у другому випадку дорівнює $\angle BAC=20^{\circ}$.
3 випадок.
Якщо припустити, що основи похилих лежать по один бік від основи перпендикуляра, але основа похилої з кутом $70^{\circ}$ міститься далі від неї, ніж основа похилої з кутом $50^{\circ}$, то такий випадок неможливий: більшому куту нахилу відповідає менша відстань від основи похилої до основи перпендикуляра.
Відповідь:
Слід розглянути три випадки, розв’язок мають лише два з них.
1) Кут між похилими $60^{\circ}$, похилі $\approx5{,}31$ см та $\approx6{,}51$ см.
2) Кут між похилими $20^{\circ}$, похилі $\approx13{,}44$ см та $\approx16{,}48$ см.