№ 13.3 Геометрія = № 24.3 Математика
Розв’яжіть $\bigtriangleup ABC$ за стороною і двома кутами:
1) $AB=8$ см, $\angle A=37^{\circ}$, $\angle B=30^{\circ}$;
2) $AC=10$ см, $\angle A=45^{\circ}$, $\angle C=92^{\circ}$;
3) $BC=6$ см, $\angle B=12^{\circ}$, $\angle A=18^{\circ}$;
4) $AB=7$ см, $\angle A=57^{\circ}$, $\angle C=62^{\circ}$.
Розв’язок:
1) $\angle C=180^{\circ}-\left( 37^{\circ}+30^{\circ} \right)=$
$=180^{\circ}-67^{\circ}=113^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{sin\angle C}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$BC=\frac{AB\cdot\sin\angle A}{\sin\angle C}=$
$=\frac{8\cdot\sin 37^{\circ}}{\sin 113^{\circ}}=$
$=\frac{8\cdot0{,}6018}{0{,}9205}\approx5{,}2\text{ (см)}$
Оскільки $\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}$, то:
$AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}=$
$=\frac{8\cdot0{,}5}{0{,}9205}\approx4{,}3\text{ (см)}$
2) $\angle B=180^{\circ}-\left( 45^{\circ}+92^{\circ} \right)=$
$=180^{\circ}-137^{\circ}=43^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$BC=\frac{AC\cdot\sin\angle A}{\sin\angle B}=$
$=\frac{10\cdot\sin 45^{\circ}}{\sin 43^{\circ}}=$
$=\frac{10\cdot0{,}7071}{0{,}682}\approx10{,}4\text{ (см)}$
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$AB=\frac{AC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle B}=$
$=\frac{10\cdot\sin 92^{\circ}}{\sin 43^{\circ}}=\frac{10\cdot\sin 88^{\circ}}{0{,}682}=$
$=\frac{10\cdot0{,}9994}{0{,}682}\approx14{,}7\text{ (см)}$
3) $\angle C=180^{\circ}-(12^{\circ}+18^{\circ})=150^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$AC=\frac{BC\cdot\sin\angle B}{\sin\angle A}=$
$=\frac{6\cdot\sin 12^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}=\frac{6\cdot0{,}2079}{0{,}3090}\approx4\text{ (см)}$
$\frac{BC}{sin\angle A}=\frac{AB}{sin\angle C}$
$AB=\frac{BC\cdot\sin\angle C}{\sin\angle A}=$
$=\frac{6\cdot0{,}5}{0{,}3090}\approx9{,}7\text{ (см)}$
4) $\angle B=180^{\circ}-\left( 57^{\circ}+62^{\circ} \right)=$
$=180^{\circ}-119^{\circ}=61^{\circ}$.
За теоремою синусів:
$\frac{AB}{sin\angle C}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$BC=\frac{AB\cdot\sin\angle A}{\sin\angle C}=$
$=\frac{7\cdot\sin 57^{\circ}}{\sin 62^{\circ}}=$
$=\frac{7\cdot0{,}8387}{0{,}8829}\approx6{,}6\text{ (см)}$
$\frac{AB}{sin\angle C}=\frac{AC}{sin\angle B}$
$AC=\frac{AB\cdot\sin\angle B}{\sin\angle C}=$
$=\frac{7\cdot\sin 61^{\circ}}{\sin 62^{\circ}}=$
$=\frac{7\cdot0{,}8746}{0{,}8829}\approx6{,}9\text{ (см)}$