№ 13.24 Геометрія = № 24.24 Математика
Сусідні сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$, а його гострий кут дорівнює $\alpha$. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.
Розв’язок:
За теоремою косинусів для діагоналей паралелограма:
$d_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha$
$d_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(180^{\circ}-\alpha)=$
$=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha$
Знайдемо модуль різниці квадратів діагоналей:
$\left| d_{1}^{2}-d_{2}^{2} \right|=$
$=|a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha-(a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha)|=$
$=|a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha-a^{2}-b^{2}-2ab\cos\alpha|=$
$=|-4ab\cos\alpha|=4ab\cos\alpha$
Відповідь:
$4ab\cos\alpha$