№ 13.7 Геометрія = № 24.7 Математика
Сторона паралелограма дорівнює $7$ см і утворює з його діагоналлю $8$ см завдовжки кут $67^{\circ}$. Знайдіть другу сторону паралелограма та його кути.
Розв’язок:
$ABCD$ — даний паралелограм; $AB=7$ см; $BD=8$ см; $\angle ABD=67^{\circ}$.
З $\bigtriangleup ABD$ за теоремою косинусів:
$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cdot cos\angle B}=$
$=\sqrt{7^{2}+8^{2}-2\cdot7\cdot8\cdot cos67^{\circ}}=$
$=\sqrt{49+64-112\cdot0{,}3907}\approx\sqrt{69{,}24}\approx8{,}32$ (см).
У $\bigtriangleup ABD$ сторона $BD=8$ см менша за $AD$, тому $\angle A<\angle ABD=67^{\circ}$, тобто кут $A$ — гострий.
За теоремою синусів:
$\frac{BD}{\sin\angle A}=\frac{AD}{\sin 67^{\circ}}$,
$\sin\angle A=\frac{BD\cdot\sin 67^{\circ}}{AD}\approx\frac{8\cdot0{,}9205}{8{,}32}\approx0{,}8851$;
$\angle A\approx62^{\circ}$.
Оскільки у паралелограмі протилежні кути рівні, а сума сусідніх кутів дорівнює $180^{\circ}$:
$\angle A=\angle C\approx62^{\circ}$; $\angle B=\angle D\approx180^{\circ}-62^{\circ}=118^{\circ}$.
Відповідь:
$AD\approx8{,}32$ см; кути паралелограма: $62^{\circ}$, $118^{\circ}$, $62^{\circ}$, $118^{\circ}$.