№ 14.24 Геометрія = № 25.24 Математика
Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $150^{\circ}$, а його площа — $25$ см$^{2}$. Знайдіть сторони трикутника.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений, $\angle B=150^{\circ}$.
$S_{\bigtriangleup ABC}=25$ см$^{2}$, $AB=BC=a$.
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sin150^{\circ}=$
$=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a^{2}}{4}$
$\frac{a^{2}}{4}=25$
$a^{2}=100$
$AB=BC=10$ (см).
За теоремою косинусів:
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cos\angle B}=$
$=\sqrt{10^{2}+10^{2}-2\cdot10\cdot10\cdot cos150^{\circ}}=$
$=\sqrt{100+100-200\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}=$
$=\sqrt{200+100\sqrt{3}}=$
$=\sqrt{100(2+\sqrt{3})}=$
$=10\sqrt{2+\sqrt{3}}$ (см).
Отже, $AB=10$ см, $BC=10$ см, $AC=10\sqrt{2+\sqrt{3}}$ см.