№ 14.26 Геометрія = № 25.26 Математика
Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники.
Розв’язок:
$ABCD$ — паралелограм; $AC$ і $BD$ — діагоналі; $BD \cap AC=O$; $OA=OC=a$; $OB=OD=b$. $\angle COD=\alpha$; $\angle BOC=\angle DOA=180^{\circ}-\alpha$.
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\alpha=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
$S_{\bigtriangleup BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot OCsin(180^{\circ}-\alpha)=$
$=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
$S_{\bigtriangleup COD}=\frac{1}{2}OC\cdot OD\sin\alpha=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
$S_{\bigtriangleup AOD}=\frac{1}{2}OA\cdot ODsin(180^{\circ}-\alpha)=$
$=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
Звідси $S_{\bigtriangleup AOB}=S_{\bigtriangleup BOC}=S_{\bigtriangleup COD}=S_{\bigtriangleup AOD}$.
Оскільки площі всіх чотирьох трикутників рівні, то вони є рівновеликими.
Що й треба було довести.