№ 14.34 Геометрія = № 25.34 Математика
Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $R$, а два його кути — $\alpha$ і $\beta$. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
За теоремою синусів:
$\frac{a}{\sin\alpha}=2R$, звідси $a=2R\sin\alpha$ — сторона, протилежна куту $\alpha$.
$\frac{b}{\sin\beta}=2R$, звідси $b=2R\sin\beta$ — сторона, протилежна куту $\beta$.
Третій кут трикутника дорівнює $180^{\circ}-(\alpha+\beta)$ (за теоремою про суму кутів трикутника).
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними:
$S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}a\cdot bsin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))=$
$=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))=$
$=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta sin(\alpha+\beta)$
(оскільки $sin(180^{\circ}-\gamma)=sin\gamma$).
Відповідь:
$2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)$.