№ 14.35 Геометрія = № 25.35 Математика
Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють $14$ см і $22$ см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює $12$ см.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=14$ см, $AC=22$ см, $M$ — середина $BC$, $AM=12$ см.
За формулою довжини медіани:
$(2AM)^{2}+BC^{2}=2(AB^{2}+AC^{2})$
$24^{2}+BC^{2}=2\cdot(14^{2}+22^{2})$
$BC^{2}=2\cdot(196+484)-576=$
$=2\cdot(680)-576=$
$=1360-576=784$
$BC=\sqrt{784}=28$ (см).
Знайдемо півпериметр $p$:
$p=\frac{14+22+28}{2}=\frac{64}{2}=32$ (см).
За формулою Герона:
$S_{\bigtriangleup ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=$
$=\sqrt{32\cdot(32-14)\cdot(32-22)\cdot(32-28)}=$
$=\sqrt{32\cdot18\cdot10\cdot4}=$
$=\sqrt{16\cdot2\cdot18\cdot10\cdot4}=$
$=\sqrt{16\cdot36\cdot4\cdot10}=$
$=4\cdot6\cdot2\sqrt{10}=48\sqrt{10}$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$48\sqrt{10}$ см$^{2}$.