№ 14.36 Геометрія = № 25.36 Математика
Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють $16$ см і $30$ см, а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює $25$ см.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=16$ см; $AC=30$ см; $K$ — середина $AC$; $BK=25$ см.
За теоремою про довжину медіани трикутника:
$(2BK)^{2}+AC^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$
$(2\cdot25)^{2}+30^{2}=2(16^{2}+BC^{2})$
$50^{2}+30^{2}=2(256+BC^{2})$
$2500+900=2(256+BC^{2})$
$3400=2(256+BC^{2})$
$256+BC^{2}=\frac{3400}{2}$
$256+BC^{2}=1700$
$BC^{2}=1444$
$BC=38$ (см).
Знайдемо півпериметр $p$:
$p=\frac{16+38+30}{2}=42$ (см).
За формулою Герона:
$S=\sqrt{42(42-16)(42-30)(42-38)}=$
$=\sqrt{42\cdot26\cdot12\cdot4}=24\sqrt{91}$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$24\sqrt{91}$ см$^{2}$.