№ 14.37 Геометрія = № 25.37 Математика
Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом $2\alpha$ при вершині та бічною стороною $a$. Знайдіть площу цього трикутника двома способами і доведіть формулу $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений, $AB=BC=a$; $\angle B=2\alpha$.
Площа трикутника за двома сторонами і кутом між ними:
$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BCsin\angle B=\frac{1}{2}a^{2}\sin 2\alpha$
Проведемо $BK \perp AC$. Оскільки трикутник рівнобедрений, $BK$ є також медіаною та бісектрисою.
Тоді $AK=KC$, $\angle ABK=\angle CBK=\alpha$, $\bigtriangleup ABK=\bigtriangleup CBK$.
З прямокутного трикутника $ABK$:
$BK=AB\cos\alpha=a\cos\alpha$
$AK=AB\sin\alpha=a\sin\alpha$
Площа трикутника як сума площ двох рівних прямокутних трикутників:
$S_{\bigtriangleup ABC}=2\cdot S_{\bigtriangleup ABK}=$
$=2\cdot\frac{1}{2}AK\cdot BK=$
$=a\sin\alpha\cdot a\cos\alpha=a^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
Прирівняємо отримані вирази для площі:
$\frac{1}{2}a^{2}\sin 2\alpha=a^{2}\sin\alpha\cos\alpha$
Поділимо обидві частини на $\frac{1}{2}a^{2}$:
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
Що й треба було довести.