№ 14.39 Геометрія = № 25.39 Математика
Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють $3$, $\sqrt{5}$ і $\sqrt{10}$ см.
Розв’язок:
Нехай $\alpha$ — кут, протилежний стороні, що дорівнює $3$ см.
За теоремою косинусів:
$\cos\alpha=\frac{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2}-3^{2}}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=$
$=\frac{5+10-9}{2\cdot\sqrt{50}}=$
$=\frac{6}{2\cdot5\sqrt{2}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$
За основною тригонометричною тотожністю:
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=$
$=\sqrt{1-\frac{9}{50}}=\sqrt{\frac{41}{50}}=\frac{\sqrt{41}}{5\sqrt{2}}$
Площа трикутника:
$S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{50}\cdot\frac{\sqrt{41}}{5\sqrt{2}}=$
$=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{41}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{41}}{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$\frac{\sqrt{41}}{2}$ см$^{2}$.