№ 14.40 Геометрія = № 25.40 Математика
Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють $4$, $\sqrt{11}$ і $\sqrt{13}$ см.
Розв’язок:
Нехай $\alpha$ — кут, протилежний стороні $4$ см. Тоді за теоремою косинусів:
$\cos\alpha=\frac{(\sqrt{11})^{2}+(\sqrt{13})^{2}-4^{2}}{2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{13}}=$
$=\frac{11+13-16}{2\cdot\sqrt{143}}=$
$=\frac{8}{2\cdot\sqrt{143}}=\frac{4}{\sqrt{143}}$
За основною тригонометричною тотожністю:
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=$
$=\sqrt{1-\frac{16}{143}}=$
$=\sqrt{\frac{127}{143}}=\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{143}}$
Площа трикутника:
$S_{\bigtriangleup}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{13}\cdot sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{143}\cdot\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{143}}=\frac{\sqrt{127}}{2}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$\frac{\sqrt{127}}{2}$ см$^{2}$.