№ 14.41 Геометрія = № 25.41 Математика
На сторонах $OB$ та $OD$ кута $O$ відкладено відрізки $OA=2$ см, $AB=4$ см, $OC=3$ см і $CD=5$ см (мал. 14.9). Знайдіть відношення площі трикутника $OBD$ до площі чотирикутника $ABDC$.
Розв’язок:
Нехай $\angle DOB=\alpha$.
Знайдемо довжини сторін трикутника $OBD$:
$OD=OC+CD=3+5=8$ (см);
$OB=OA+AB=2+4=6$ (см).
Площа трикутника $OBD$:
$S_{\bigtriangleup OBD}=\frac{1}{2}\cdot OD\cdot OB\cdot\sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot\sin\alpha=24\sin\alpha$.
Площа трикутника $OAC$:
$S_{\bigtriangleup OAC}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OC\cdot\sin\alpha=$
$=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\sin\alpha=3\sin\alpha$.
Площа чотирикутника $ABDC$ дорівнює різниці площ трикутників $OBD$ та $OAC$:
$S_{ABDC}=S_{\bigtriangleup OBD}-S_{\bigtriangleup OAC}=$
$=24\sin\alpha-3\sin\alpha=21\sin\alpha$.
Шукане відношення:
$\frac{S_{\bigtriangleup OBD}}{S_{ABDC}}=\frac{24\sin\alpha}{21\sin\alpha}=\frac{24}{21}=\frac{8}{7}$.
Відповідь:
$\frac{8}{7}$.