№ 11 ДСР 3 Геометрія = № 11 ДСР 5 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $6$ см і $16$ см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо її відношення до радіуса описаного кола дорівнює $\sqrt{3}\ :1$.
А. $14$ см
Б. $16$ см
В. $14$ см або $2\sqrt{97}$ см
Г. $18$ см
Розв’язок:
За умовою $\frac{c}{R}=\frac{\sqrt{3}}{1}$, звідси $c=R\sqrt{3}$.
За теоремою синусів:
$\frac{c}{\sin\alpha}=2R$
$\frac{R\sqrt{3}}{\sin\alpha}=2R$
$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\alpha=60^{\circ}$ або $\alpha=120^{\circ}$.
Якщо $\alpha=60^{\circ}$, то за теоремою косинусів:
$c=\sqrt{6^{2}+16^{2}-2\cdot6\cdot16\cdot cos60^{\circ}}=$
$=\sqrt{36+256-96}=\sqrt{196}=14\text{ (см)}$.
Якщо $\alpha=120^{\circ}$, то за теоремою косинусів:
$c=\sqrt{6^{2}+16^{2}-2\cdot6\cdot16\cdot cos120^{\circ}}=$
$=\sqrt{36+256+96}=\sqrt{388}=2\sqrt{97}\text{ (см)}$.
Відповідь:
В. $14$ см або $2\sqrt{97}$ см.