№ 12 ДСР 3 Геометрія = № 12 ДСР 5 Математика
Дві сторони трикутника дорівнюють $7$ см і $9$ см, а медіана, що проведена до третьої сторони, — $4$ см. Знайдіть менший з відрізків, на які медіана трикутника ділить цю сторону.
А. $6{,}125$ см
Б. $6{,}5$ см
В. $6$ см
Г. $7{,}875$ см
Розв’язок:
Нехай $AB=7$ см, $AC=9$ см, медіана $AK=4$ см. Позначимо третю сторону $BC=a$.
За теоремою про довжину медіани:
$AK^{2}=\frac{2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}}{4}$
Підставимо значення:
$4^{2}=\frac{2\cdot7^{2}+2\cdot9^{2}-BC^{2}}{4}$
$16\cdot4=2\cdot49+2\cdot81-BC^{2}$
$64=98+162-BC^{2}$
$BC^{2}=260-64=196$
$BC=14\text{ (см)}$
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам (властивість бісектриси). Отже, відрізки відносяться як $7\ :9$.
Нехай відрізки дорівнюють $7x$ та $9x$.
$7x+9x=14$
$16x=14$
$x=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$
Менший відрізок дорівнює:
$7x=7\cdot\frac{7}{8}=\frac{49}{8}=6{,}125\text{ (см)}$
Відповідь:
А. $6{,}125$ см.