№ 7 ДСР 3 Геометрія = № 7 ДСР 5 Математика
Одна зі сторін трикутника дорівнює $14$ см, дві інші утворюють кут $120^{\circ}$, а їх різниця дорівнює $4$ см. Знайдіть периметр трикутника.
А. $30$ см
Б. $32$ см
В. $28$ см
Г. $34$ см
Розв’язок:
Нехай $x$ см та $(x+4)$ см — дві інші сторони трикутника.
За теоремою косинусів:
$x^{2}+(x+4)^{2}-2\cdot x\cdot(x+4)\cdot cos120^{\circ}=14^{2}$
Оскільки $\cos 120^{\circ}=-0{,}5$, маємо:
$x^{2}+x^{2}+8x+16-2\cdot x\cdot(x+4)\cdot(-0{,}5)=196$
$2x^{2}+8x+16+x^{2}+4x=196$
$3x^{2}+12x-180=0$
Поділимо рівняння на $3$:
$x^{2}+4x-60=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}=6$, $x_{2}=-10$.
Оскільки довжина сторони не може бути від’ємною, $x=6$.
Тоді сторони трикутника: $6$ см та $6+4=10$ см.
Периметр трикутника:
$P=6+10+14=30$ (см).
Відповідь:
А. $30$ см.