№ 8 ДСР 3 Геометрія = № 8 ДСР 5 Математика
У трикутнику $ABC$ $\angle B=30^{\circ}$, $AC=2\sqrt{2}$ см, $BC=4$ см. Знайдіть $\angle A$.
А. $30^{\circ}$
Б. $45^{\circ}$
В. $60^{\circ}$
Г. $45^{\circ}$ або $135^{\circ}$
Розв’язок:
За теоремою синусів:
$\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{BC}{sin\angle A}$
$\sin\angle A=\frac{BC\cdot sin\angle B}{AC}=$
$=\frac{4\cdot\frac{1}{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Оскільки $\sin\angle A=\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $\angle A=45^{\circ}$ або $\angle A=135^{\circ}$.
Перевіримо обидва значення:
- якщо $\angle A=45^{\circ}$, то $\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$ — трикутник існує;
- якщо $\angle A=135^{\circ}$, то $\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-135^{\circ}=15^{\circ}$ — трикутник теж існує.
Обидва трикутники задовольняють умову: нерівність $BC>AC$ дає лише $\angle A>\angle B=30^{\circ}$, а цьому відповідають обидва значення. Тому задача має два розв’язки.
Відповідь:
Г. $45^{\circ}$ або $135^{\circ}$.