№ 14 ВПР 3 Геометрія = № 14 ВПТ 5 Математика
У трикутнику зі сторонами $3$ см, $4$ см і $6$ см проведено медіану до більшої сторони. Визначте косинус кута, що утворює ця медіана з меншою стороною трикутника.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AB=3$ см, $BC=4$ см, $AC=6$ см, $BK$ — медіана до сторони $AC$.
За теоремою про довжину медіани:
$4BK^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}$
$4BK^{2}=2\cdot3^{2}+2\cdot4^{2}-6^{2}=$
$=2\cdot9+2\cdot16-36=$
$=18+32-36=14$
$BK^{2}=\frac{14}{4}=3{,}5$
$BK=\frac{\sqrt{14}}{2}$
У $\bigtriangleup ABK$: $AB=3$ см, $BK=\frac{\sqrt{14}}{2}$ см, $AK=\frac{AC}{2}=3$ см.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup ABK$:
$cos\angle ABK=\frac{AB^{2}+BK^{2}-AK^{2}}{2\cdot AB\cdot BK}=$
$=\frac{3^{2}+(\frac{\sqrt{14}}{2})^{2}-3^{2}}{2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{14}}{2}}=$
$=\frac{\frac{14}{4}}{3\cdot\sqrt{14}}=\frac{14}{4\cdot3\cdot\sqrt{14}}=$
$=\frac{14}{12\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{12}$
Відповідь:
$\frac{\sqrt{14}}{12}$.