№ 15 ВПР 3 Геометрія = № 15 ВПТ 5 Математика
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює $m$, а кут при основі — $\alpha$. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони трикутника.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений; $BM \perp AC$, $BM$ — висота і медіана.
З $\bigtriangleup BMC$, якого $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{m}{2}$ і $\angle C=\alpha$, знайдемо $BC$:
$BC=\frac{MC}{\cos\alpha}=\frac{m}{2\cos\alpha}$
Так як $AK$ — медіана, то:
$KC=\frac{1}{2}BC=\frac{m}{4\cos\alpha}$
У $\bigtriangleup AKC$: $AC=m$; $KC=\frac{m}{4\cos\alpha}$; $\angle C=\alpha$.
За теоремою косинусів:
$AK=\sqrt{AC^{2}+KC^{2}-2AC\cdot KC\cos\alpha}=$
$=\sqrt{m^{2}+\frac{m^{2}}{16\cos^{2}\alpha}-2\cdot m\cdot\frac{m}{4\cos\alpha}\cdot cos\alpha}=$
$=\sqrt{m^{2}+\frac{m^{2}}{16\cos^{2}\alpha}-\frac{m^{2}}{2}}=$
$=\sqrt{\frac{m^{2}}{2}+\frac{m^{2}}{16\cos^{2}\alpha}}=$
$=\sqrt{\frac{8m^{2}\cos^{2}\alpha+m^{2}}{16\cos^{2}\alpha}}=$
$=\frac{m\sqrt{8\cos^{2}\alpha+1}}{4\cos\alpha}$
Відповідь:
$\frac{m\sqrt{8\cos^{2}\alpha+1}}{4\cos\alpha}$