№ 17 ВПР 3 Геометрія = № 17 ВПТ 5 Математика
Навколо чотирикутника, сторони якого в порядку слідування дорівнюють $a$, $b$, $c$ і $d$, можна описати коло. Знайдіть косинус кута між сторонами $a$ і $b$.
Розв’язок:
Навколо чотирикутника $ABCD$ можна описати коло.
Тоді $\angle B+\angle D=\angle A+\angle C=180^{\circ}$.
Нехай $\angle B=\alpha$, тоді $\angle D=180^{\circ}-\alpha$.
У $\bigtriangleup ABC$ за теоремою косинусів:
$AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha$.
У $\bigtriangleup ACD$ за теоремою косинусів:
$AC^{2}=d^{2}+c^{2}-2dc\cos(180^{\circ}-\alpha)$.
Оскільки $\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, маємо:
$AC^{2}=d^{2}+c^{2}+2dc\cos\alpha$.
Звідси:
$d^{2}+c^{2}+2dc\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha$
$2dc\cos\alpha+2ab\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-d^{2}-c^{2}$
$\cos\alpha(2ab+2dc)=a^{2}+b^{2}-d^{2}-c^{2}$
$\cos\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}-d^{2}-c^{2}}{2(ab+dc)}$