№ 30 ВПР 3 Геометрія = № 30 ВПТ 5 Математика
Доведіть, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну йому сторону на частини, обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $AK$ — бісектриса ділить сторону $BC$ на відрізки $BK$ і $KC$.
$\angle BAK=\angle KAC=\alpha$.
З $\bigtriangleup ABK$ за теоремою синусів:
$\frac{BK}{\sin\alpha}=\frac{AK}{sin\angle B}$
звідси
$BK=\frac{AK\cdot sin\alpha}{sin\angle B}$
З $\bigtriangleup AKC$ за теоремою синусів:
$\frac{KC}{\sin\alpha}=\frac{AK}{sin\angle C}$
звідси
$KC=\frac{AK\cdot sin\alpha}{sin\angle C}$
Знайдемо відношення відрізків:
$\frac{BK}{KC}=\frac{\frac{AK\cdot sin\alpha}{sin\angle B}}{\frac{AK\cdot sin\alpha}{sin\angle C}}=\frac{sin\angle C}{sin\angle B}$
Оскільки $\frac{BK}{KC}=\frac{\sin\angle C}{\sin\angle B}$, то відрізки $BK$ і $KC$ обернено пропорційні синусам кутів $\angle B$ та $\angle C$.
Що й треба було довести.