№ 31 ВПР 3 Геометрія = № 31 ВПТ 5 Математика
Сторони трикутника дорівнюють $2$ см, $3$ см і $4$ см. Знайдіть радіус кола, що проходить через кінці більшої сторони і середину меншої сторони.
Розв’язок:
Нехай у $\bigtriangleup ABC$: $AB=2$ см, $BC=4$ см, $AC=3$ см. Коло проходить через точки $B$, $C$ і $K$, де $K$ — середина $AB$, $BK=1$ см.
За теоремою косинусів для $\bigtriangleup ABC$:
$\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=$
$=\frac{2^{2}+4^{2}-3^{2}}{2\cdot2\cdot4}=\frac{4+16-9}{16}=\frac{11}{16}$
З $\bigtriangleup KBC$ за теоремою косинусів:
$CK^{2}=BK^{2}+BC^{2}-2\cdot BK\cdot BC\cdot\cos\angle B=$
$=1^{2}+4^{2}-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{11}{16}=$
$=17-8\cdot\frac{11}{16}=17-\frac{11}{2}=\frac{23}{2}$
$CK=\sqrt{\frac{23}{2}}$
Знайдемо $sin\angle B$:
$\sin\angle B=\sqrt{1-\cos^{2}\angle B}=$
$=\sqrt{1-\left( \frac{11}{16} \right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{121}{256}}=$
$=\sqrt{\frac{135}{256}}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$
За теоремою синусів для $\bigtriangleup KBC$:
$\frac{CK}{sin\angle B}=2R$
$R=\frac{CK}{2sin\angle B}=\frac{\sqrt{\frac{23}{2}}}{2\cdot\frac{3\sqrt{15}}{16}}=$
$=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{16}{6\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{23}}{3\sqrt{30}}=$
$=\frac{8\sqrt{23}\cdot\sqrt{30}}{3\cdot30}=\frac{8\sqrt{690}}{90}=$
$=\frac{4\sqrt{690}}{45}\text{ (см)}$
Відповідь:
$\frac{4\sqrt{690}}{45}$ см.